L’équation, l’enquête et l’énigme

Julien Page, Laboratoire Sphere, UMR 7219, CNRS/Paris 7

Résumé : On propose une analogie entre les équations polynomiales traitées par la théorie de Galois et l’enquête policière de la série télévisée Twin Peaks1. En particulier, on montre que dans les deux situations, on peut repérer deux méthodes de résolution : l’une systématique et positive, l’autre plus inventive et intuitive. La première peut conduire à des impasses, que l’on peut penser positivement, en tant qu’elles sont l’occasion d’un approfondissement du sens de l’énigme. On montrera finalement en quoi ces deux situations touchent à des questions sur l’être et la vérité, en se référant à Hegel et Heidegger, à condition de les adapter à la philosophie contemporaine des mathématiques.

Abstract : We propose an analogy between equations involved in Galois theory and the criminal investigation of the television serial drama Twin Peaks2. In particular we show that in both cases there are two methods of resolution : one is systematic and positive, the other is more creative and more intuitive. The first one can lead to dead ends, which can be thought positively, as they are the opportunity to deepen the meaning of the riddle. Finally we shall show how these two situations concern questions on being and truth, by referring to Hegel and Heidegger, provided we adapt them to the contemporary philosophy of mathematics.

Les enquêtes policières sont depuis longtemps des sujets qui intéressent les lecteurs de romans et attirent les cinéphiles, en particulier lorsqu’il s’agit de crimes. En plus de leur dimension artistique, on peut défendre que les divers objets culturels qui présentent ces enquêtes remplissent des fonctions sociales et psychiques, telles que renforcer le respect de la loi ou pourvoir des moyens cathartiques de sublimation. Nous proposons ici une tout autre fonction – non usuelle – pour ces objets, celle d’initier une réflexion philosophique et plus spécifiquement épistémologique – sans néanmoins forclore les dimensions anthropologique, esthétique et éthique. Plus précisément, nous commencerons par examiner l’hypothèse d’une analogie entre enquête policière et équation mathématique (partie I). Dans les deux cas en effet, on dispose d’informations partielles sur une entité – l’inconnue x ou le criminel – dont il s’agit de découvrir l’identité. Pour ce faire, nous appuierons notre réflexion sur l’étude de deux situations concrètes : celle des équations polynomiales (et en particulier leur traitement par la théorie mathématique de Galois³) et celle des séries policières où l’on suit le déroulement d’une enquête (et en particulier l’enquête menée par l’agent Dale Cooper au sujet de l’assassinat de Laura Palmer dans la série télévisée américaine du début des années 1990 Twin Peaks⁴, créée par David Lynch – et Mark Frost). Dans les deux domaines (équations algébriques et enquêtes policières), nous distinguerons deux grands types de résolution : l’une systématique et positive, et l’autre qui mobilise le sujet dans ses composantes intuitives et inventives, voire irrationnelles. Nous montrerons ensuite (partie II) en quoi la voie systématique et positive rencontre des limites et des impasses, dont le dépassement peut être positif. On verra finalement en quoi les deux situations participent au traitement de la question de l’être et de la vérité (partie III). En définitive, il s’agira pour nous d’évaluer l’énoncé suivant : derrière toute équation réside une énigme qu’il s’agit de problématiser, en reposant dans notre contexte, le problème de la vérité, entre sciences et arts.

1. L’hypothèse d’une analogie entre enquête policière et équation mathématique

L’équation 2x+3 = 8 identifie un nombre inconnu x par une information : si l’on ajoute 3 à son double, on obtient 8. Pour la résoudre, le jeune collégien peut essayer différentes valeurs communes de x (x = 0, 1 ou 2) et remarquer que la fonction f(x) = 2x+3 est croissante. Ces méthodes sont intuitives et inventives. Elles dépendent de l’expérience du sujet de problèmes ou calculs similaires et de sa capacité à l’adapter à la situation présente, voire à inventer un chemin. De telles méthodes peuvent très bien échouer. À l’inverse, se trouve la méthode de résolution systématique qui est enseignée aux élèves pour toute équation (du premier degré) du type ax+b=c, qui conduit, si a est non nul à une solution unique : x = (c-b) / a, soit ici x = 2,5. On voit dans cet exemple qu’un élève peu familier des nombres décimaux qui n’aurait essayé que des valeurs entières de x (x = 0, x= 1, x=2…) aurait échoué – soit il aurait capitulé, soit il aurait déclaré que l’équation n’admettait pas de solution. La méthode systématique semble donc ici supérieure. Mais supérieure dans quel sens ?

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Le sens de l’efficacité ou de l’utilité assurément. Et c’est pourquoi parallèlement, dans le domaine des enquêtes policières, c’est aussi peu à peu les méthodes systématiques et positives qui se sont imposées. Dans la série américaine des années 1970 – reprise dans les années 1990 – Colombo, le célèbre inspecteur à l’imperméable confondait les coupables par son ingéniosité et sa clairvoyance. Son intelligence psychologique évoquait celle du personnage fétiche de la romancière Agatha Christie, Hercule Poirot, qui triomphait des criminels en utilisant simplement ses « petites cellules grises ». À ces ingénieux personnages, on opposera les Experts scientifiques de la police dépeints dans la série américaine des années 2000 justement intitulée en français Les Experts⁵. Ceux-ci sont tous diplômés en physique, biologie, entomologie ou criminologie, et appliquent systématiquement les mêmes méthodes : relevé d’empreintes, prélèvement ADN… Dans cette série, la science efface le sujet dans toutes ses dimensions : les enquêteurs n’ont plus réellement à penser, mais à appliquer des techniques, presque mécaniquement. Il en va de même pour les crimes, qui sont abordés comme des faits scientifiques plutôt que comme des actes de sujets. Comme le déclare le psychanalyste Gérard Wajcman, il s’agit de « disjoindre le criminel et le crime. Dans un cas, on s’intéresse à quelque chose comme l’homme, dans l’autre on s’intéresse aux choses, exclusivement »⁶. De même on distinguera le technicien qui applique une formule ou une procédure scientifique de façon répétitive sans pensée, au chercheur qui à tâtons, explore la frontière des savoirs institués pour aller au-delà, voire y effectuer une percée subversive.

S’il y a frontière et surface perçable, c’est qu’on sous-entend qu’un problème – équation ou enquête – bien posé, mentionne explicitement un cadre ou un lieu dans lequel l’interpréter et chercher la solution x. C’est bien ce qu’a montré l’histoire de l’algèbre qui a thématisé la notion de corps, qui généralise par abstraction (le corps constitué par) les nombres réels. C’est ici qu’intervient la notion d’imaginaire. Ainsi en effet, l’équation x² +1 = 0 n’admet pas de solution, puisqu’on apprend à l’école qu’un nombre au carré est toujours positif et ne peut donc valoir -1. Cette affirmation est exacte pour les nombres réels, mais depuis le XVI^e siècle, les mathématiciens ont inventé une nouvelle catégorie de nombres, d’abord appelés sophistiqués, puis impossibles et finalement imaginaires et complexes, qui permet d’envisager le nombre i = √-1. Cette série de dénominations par des termes initialement non mathématiques, plutôt littéraires, invite déjà sur le plan des signifiants, à envisager la possibilité d’une analogie entre la théorie mathématique des équations algébriques et un récit culturel télévisé – ici le meurtre de Laura Palmer. C’est en particulier le terme d’imaginaire que l’on retiendra ici pour commencer à dresser notre analogie. Mais on l’envisagera justement selon un sens compatible avec son occurrence en mathématiques. Ainsi nous nommerons imaginaire, non pas ce qui n’existe que dans l’imagination et n’a pas de réalité, mais ce qui pourrait au contraire tout à fait avoir une réalité propre et devrait être qualifié d’impossible du point de vue de la logique d’une autre réalité plus élémentaire – moins « sophistiqué », moins « complexe ». Pour quelqu’un qui ne connaîtrait pas les nombres complexes et serait plutôt familier des nombres réels, le nombre i = √-1 semblerait impossible, irréel ou fantaisiste. Mais une fois acquis sa définition, sa construction, ses propriétés et ses usages, cette personne changerait certainement d’avis et serait sans doute prêt à lui admettre une part de réalité – éventuellement sur un mode problématique. Dans le champ lexical des récits culturels, le terme d’imaginaire correspondrait ainsi au terme de fantastique⁷. Ainsi dans la série Twin Peaks, après avoir enquêté sur différents habitants de la petite ville⁸, l’agent Dale Cooper réalise qu’un monde parallèle fantastique, imaginaire dira-t-on – la Chambre Rouge / Black Lodge / White Lodge –, interagit avec le monde réel. Ainsi le véritable meurtrier de Laura est double, c’est un personnage bien réel de Twin Peaks – dont on gardera secret le nom –, mais en tant qu’il est possédé par un personnage maléfique imaginaire, Bob.

Le fait qu’on recherche les solutions d’un problème dans un domaine déterminé, que l’on s’autorise à faire varier, induit une relativisation de l’identité et de l’identification. Le problème est en effet la recherche d’un individu à partir de certaines de ces propriétés : le x tel que P(x) = 0 ou bien le x tel que x a tué Laura Palmer. Pour diverses raisons psychologiques, on rajoute souvent des hypothèses implicites à la formulation du problème, comme par exemple l’unicité d’une éventuelle solution ou bien sa localisation. Or ce qu’ont montré l’algèbre et les histoires policières, c’est qu’un problème peut avoir plusieurs solutions et qu’il convient de préciser le domaine de recherche. Par exemple l’équation x² = – 1 n’admet aucune solution dans le corps des nombres réels, mais deux dans le corps des nombres complexes : i = √-1 et – i = – √-1. Par ailleurs, du point de vue des nombres réels, on ne peut pas discerner i et – i. C’est-à-dire qu’aucun polynôme à coefficients réels R ne peut séparer i de – i (autrement dit, être tel que R(i) = 0 et R(- i) ≠ 0). En revanche, si l’on « monte » au corps des nombres complexes, i et – i deviennent évidemment discernables puisque par exemple pour le polynôme à coefficients complexes R(x) = x – i on a R(i) = 0 et R(- i) ≠ 0. La théorie de Galois formalise ainsi dans le langage de l’algèbre la notion d’indiscernabilité. Galois représente celle-ci par une structure algébrique : le groupe de l’équation algébrique relativement au corps considéré, qui en donne une mesure précise. Ce groupe contient certaines permutations des racines du polynôme P – ainsi notamment dans notre exemple, celle qui échange i et – i. Plus ce groupe est grand, plus la définition du x tel que P(x) est ambiguë. Lynch de son côté, présente également des situations d’ambiguïté ou de confusions identitaires, qui conduisent à des questions irrésolubles pour le monde réel : Bob existe-t-il vraiment ? Le tueur humain possédé par Bob est-il le même que le tueur humain lorsqu’il n’est pas possédé ? Essayons de pousser un peu l’analogie avec la situation algébrique. Du point de vue du monde « réel » et « naturel », c’est-à-dire tel qu’il est communément admis par la plupart des êtres humains, on peut poser la question de trouver un individu x qui pourrait avoir possédé, autrement dit influencé de façon sur-naturelle, le tueur humain au moment de son crime. Dans le monde réel, on sait que ce problème n’a pas de solution, puisque l’adjectif « surnaturelle » définit justement ce qui ne peut pas être dans le monde réel. Par contre, il en a une – au moins – dans le monde imaginaire – fantastique – : Bob, qui est ainsi l’analogue du nombre i. Mais il peut très bien y avoir d’autres personnages imaginaires qui possèdent les hommes. Supposons que l’un d’eux, soit chauve et se nomme Bab – l’analogue de – i. Bob et Bab sont deux solutions imaginaires de notre problème. Ensuite pour discerner les individus, on se restreint à des propriétés strictement liées à l’apparence visuelle relativement au monde considéré. Ainsi du point de vue du monde imaginaire, on peut distinguer Bob et Bab – par la longueur de leur cheveux par exemple, puisque Bob a les cheveux longs – mais du point de vue du monde réel, on ne peut pas les distinguer, puisqu’on ne les voit même pas⁹. La force de Galois et de Lynch est ainsi d’avoir mis en scène chacun dans leur langue (mathématique et artistique) la relativité de l’indiscernabilité des individus.

2. Limites et impasses des voies systématiques

Même en définissant explicitement le lieu-domaine où l’on recherche le(s) x solution(s) du problème, on ne peut pas espérer toujours le résoudre systématiquement. C’est ce qu’expérimente les policiers de Twin Peaks et ce qu’a démontré Galois. Galois a montré en effet que pour tout entier n supérieur ou égal à cinq, on ne pouvait pas trouver de formule systématique qui donnerait les solutions d’une équation de degré n, ce qui n’empêche pas l’ingéniosité du mathématicien d’envisager d’autres méthodes pour y arriver. Pour cela il a utilisé pleinement un groupe de permutations des racines de P, qui sont potentiellement dans un corps contenant des « imaginaires ». On entend maintenant « imaginaire » dans un sens qui n’est pas restreint aux nombres réels et complexes, mais relatif à toute extension algébrique de corps, voire encore plus généralement aux « éléments imaginaires », virtuellement présent dans toute structure mathématique M du premier ordre, comme l’évoque Poizat dans son article de 1983 Une Théorie de Galois Imaginaire [11], qui reprend la définition donnée par le logicien Shelah et étend la théorie de Galois pour d’autres théories mathématiques que l’algèbre des corps. Ainsi l’imaginaire est d’emblée inscrit explicitement dans les théories de Galois et on mesure sa distance au réel relatif par un groupe. L’imaginaire est lié à la résolution d’un problème formulé dans le réel, mais qui ne renferme pas forcément sa solution. Lautman a proposé d’appeler le passage d’un tel réel à un tel imaginaire, qui assure l’existence et le discernement des solutions, une « montée vers l’absolu ¹⁰». Dans le domaine de l’algèbre en effet, l’absolu existe au sens où tout corps K admet une clôture algébrique : un domaine qui contient toutes les solutions de toutes les équations polynomiales écrites dans K. S’il y a une limite à la résolution des équations, ce n’est donc pas relativement au domaine, ou du moins, elle est explicitement franchissable en passant à un domaine supérieur, comme on l’a vu à propos de l’équation x² + 1 = 0. C’est plutôt la résolubilité systématique de telles équations qui connaît une limite infranchissable et constitue une impasse repérée par le théorème de Galois qu’on a dit. C’est l’accès universellement formulable aux solutions qui est impossible dans tous les cas. Cette impasse ouvre ainsi à la singularité des inventions de chaque mathématicien, dans chaque cas, pris un par un.

De même Lynch place explicitement son récit dans la coprésence du réel et de l’imaginaire et il apparaît clairement qu’une restriction au domaine réel empêcherait de résoudre l’affaire. C’est ainsi que les méthodes systématiques « réelles » des policiers de la petite ville de Twin Peaks n’ont aucune chance d’aboutir. Ils peuvent bien relever les empreintes digitales sur la scène de crime, mais Bob a-t-il des empreintes ? Ils peuvent bien interroger le voisinage, mais qui a déjà vu Bob, à part Laura et ceux qu’il possède ? Cooper le voit justement dans une vision ! Et c’est bien ce qu’il faut pour accéder à la solution, des visions, des rêves ou des méthodes basées sur le hasard ! En tout cas, rien de ce que peuvent mettre en œuvre les Experts, car en l’occurrence, « la vérité est ailleurs » ¹¹.

L’échec des méthodes systématiques et positives où la (vraie) pensée est absente, est l’occasion d’initier et de stimuler la (vraie) pensée. Mais qu’est-ce que la (vraie) pensée ? Face à un problème, et munie d’une méthode, il n’y a qu’à l’essayer et si elle ne marche pas, en essayer une autre et ainsi de suite. Où est la pensée dans un tel programme ? Pour répondre à cette question, nous devons redéfinir ses termes. En particulier, qu’est-ce qu’un problème et en quoi se distingue-t-il d’une question ? L’attitude positive envisage simplement et explicitement une question précise pour laquelle les différentes réponses possibles sont parfaitement identifiées, c’est une question positivement déterminée. Un problème dépasse au contraire le réseau des questions qui le constitue en cela qu’il possède une dynamique propre – sinon une vie. Un problème peut être parfois posé formellement dans une seule question, mais tout l’enjeu est alors de l’expliciter, de déployer son sens au regard d’autres questions ou d’autres grands problèmes. Il y a là en germe la possible séparation radicale heideggerienne entre la philosophie et la science, qu’il a inscrite contre la condition platonicienne d’une intrication : nul n’entre ici [dans son école de philosophie] s’il n’est géomètre¹². Comme le rappelle le philosophe des mathématiques contemporain Salanskis, Heidegger voulait opposer le registre philosophique qui a affaire à des questions portants sur des choses – ce qu’on a appelé ici un problème dynamique – au registre de la science qui consiste à poser des objets et prédiquer sur eux – en se basant sur des questions positives¹³. La véritable pensée serait dans la philosophie herméneutique selon Heidegger, qui critique la position fondamentale des temps modernes : la technique. Or avec son concept d’herméneutique formelle [12], Salanskis entend prouver que le mathématicien lui aussi pense, au sens d’une élaboration herméneutique qui conduit d’une situation de familiarité-dessaisissement (à partir d’une question portant sur l’essence, qui préoccupe le mathématicien, comme « qu’est-ce que l’espace ? ») à une parole mathématique en mouvement qui s’explicite et s’interprète.

L’herméneutique que propose Salanskis est formelle en tant qu’elle s’applique à des énoncés formels (mathématiques) et non à des textes de langue naturelle. La tâche du philosophe herméneutique est alors de chercher le sens (caché) des théories mathématiques et de révéler que l’explicitation du sens, sous la forme de l’interprétation mathématique – par de nouvelles définitions, de nouveaux objets, de nouvelles preuves – est aussi ce qui motive l’activité mathématique et guide ses avancées historiques. Les mathématiciens réinterpréteraient alors toujours, les mêmes thèmes fondamentaux, comme ceux de l’espace, du continu et de l’infini, qui constituent à ses yeux l’immémorial sémantique. Les théories de Galois n’en font pas explicitement partie mais on pourrait dire en le suivant que Galois a découvert derrière la question positive de la résolubilité des équations polynomiales, le thème plus profond des invariants par des groupes (de symétries) – structurés par une correspondance entre les uns et les autres. C’est pourquoi les théories de Galois qui ont suivi (celles des revêtements topologiques, des K-algèbres, des catégories galoisiennes…) ne sont plus directement liés à une question de résolubilité, mais concernent une correspondance entre groupes et invariants.

Les impasses rencontrées dans le traitement de la question de la résolubilité ont donné la chance au jeune Galois de mettre au jour des concepts radicalement nouveaux. De même les obstacles à résoudre le meurtre de Laura Palmer par des méthodes et hypothèses classiques ont permis à l’agent Dale Cooper de modifier la trajectoire ordinaire du policier, de sortir des sentiers battus, jusqu’à accéder à une réalité alternative, la Chambre Rouge / Black Lodge / White Lodge, lieux de l’imaginaire, peuplés de personnages étranges, dont Bob, « des esprits qui dirigent l’homme et la nature »¹⁴. Là-bas, l’enquête policière est transcendée par des enjeux complètement autres, métaphysique et moraux, dont en particulier le rapport entre le Bien et le Mal et plus concrètement, la question du salut de Laura, dont la rédemption est ultimement dévoilée à la fin du film Twin Peaks, Fire walk with me¹⁵, alors qu’à la fin de la série, c’est la Mal qui semble triompher¹⁶.

Cette lecture positive de la négativité des impasses évoque la perspective de la dialectique de Hegel, dont il est allé chercher les fondements chez Platon, et pour laquelle la négation d’une première position est l’occasion de son approfondissement, qui permet l’accès à un nouveau moment, une synthèse qui relève une thèse et une antithèse mais d’une façon toujours nouvelle et inattendue, non automatique. Ces grands philosophes allemands – Hegel et Heidegger – qui ont influencé un certain nombre d’épistémologues des mathématiques français (Cavaillès, Lautman, Salanskis,…)¹⁷ avaient pour point commun de déployer leur philosophie en lien avec une comparaison entre l’art et la science, deux modes d’accès à la vérité.

3. Art et mathématiques

Pour Hegel et Heidegger, l’art n’est pas qu’une activité de divertissement. Il est au contraire fondamentalement pris dans les enjeux de l’ontologie en tant qu’il permet un accès à la vérité, ou la met en œuvre. Mais les deux philosophes prononcent des jugements opposés pour ce qui est de la comparaison de l’art à la science. Pour Hegel en effet, l’art est la première forme de la conscience, celle de la sensibilité. Viennent ensuite dans son système, la religion avec la conscience de l’Entendement, puis la philosophie, avec la conscience de la Raison. L’art – essentiellement l’art grec – manifeste l’absolu et c’est en cela qu’il est supérieur à la simple technique, emprisonnée dans la finitude. Mais pour Hegel, l’art doit être dépassé dans le mouvement de la prise de conscience de soi de la conscience humaine et de fait dans l’Histoire il est dépassé. L’art est mort au sens où il ne remplit plus sa fonction spirituelle – Hegel critique en particulier l’art romantique. Il a été remplacé par la religion, puis la philosophie, qui dans sa forme achevée, prend la forme d’un système formalisé dans L’Encyclopédie des sciences philosophiques [5]. Les sciences « dures » comme les mathématiques et la physique sont incluses dans les sciences philosophiques, comme des formes de conscience qui sont ainsi supérieures à celle de l’art – bien qu’elles soient encore critiquées relativement à la forme spéculative de l’activité philosophique. Art et mathématiques procèdent donc du même mouvement métaphysique de conquête de soi de la conscience, mais au sein de la hiérarchie de son système.

Twin Peaks n’échappe sans doute pas aux critiques qu’adressait Hegel à l’art romantique de son temps : ironie, subjectivisme, perte de sérieux, perte de contenu au profit du contenant et de la virtuosité de l’artiste. La série américaine est en effet portée par une certaine ironie qui met à mal la figure du héros policier idéal et l’image de la vie parfaite dans une petite ville tranquille des États-Unis, pétrie de bonheur familial et de morale chrétienne. Les grandes idées philosophiques y sont aplaties par la dérision des détails insignifiants – comme le goût immodéré de Cooper pour les tartes aux fruits –, les appels répétés à la sensibilité, qui frôlent souvent la sensiblerie – avec les pleurs interminables de plusieurs personnages et la musique romantico-hypthnotique de Badalamenti – et la matérialité sonore qui domine souvent les dialogues – par les bruits exorbitants du ventilateur chez les Palmer et du vent dans la forêt, qui évoquent la présence indicible du Mal. Lynch est un artiste complet – il expose des peintures, enregistre des musiques… – et renoue ainsi avec l’ambition wagnerienne de créer une « œuvre d’art intégrale », qui selon l’analyse de Heidegger dans son cours sur Nietzsche [6], constituait une tentative de faire renaître l’art après Hegel. Or Wagner aurait échoué selon Heidegger pour des raisons encore présentes chez Lynch à savoir « la conception et l’appréciation de l’art à partir de l’état purement affectif et la croissante barbarisation de l’état affectif même, devenu pur bouillonnement, pur effervescence du sentiment abandonné à lui-même »¹⁸. On pense ici en particulier à la répétition des pleurs qui occupent une place prépondérante dans la série, de façon brute, sans pudeur. La détresse d’un personnage n’est pas simplement un élément qui serait intégré dans un réseau narratif globalement pudique, c’est un sentiment qui est exhibé sauvagement, par la sonorité des pleurs, les affections non dissimulées du visage et leurs durées excessives.

Le format de la série télévisée pourrait également être frappé des critiques qu’adresse Heidegger à la technique, « position fondamentale des temps modernes », qui révélerait la véritable essence de la science, avec son « projet mathématique de la nature », en contribuant à l’oubli de l’être dans toute l’histoire de la métaphysique occidentale, initié par Platon. La science moderne restreint la nature au mathématisable – contrairement à la phusis, φύσις, des présocratiques –, dans la perspective de son « arraisonnement » à produire une énergie ou des matériaux technologiques. Elle manque ainsi, au même titre que le concept appropriant de la métaphysique occidentale, la possibilité d’une pensée plus contemplative et méditative, qui laisserait être l’être. Pour Heidegger, qui renverse ainsi le jugement hégélien, l’art jouerait un rôle salvateur par rapport à la science moderne, pour faire advenir la vérité de l’être des étants, voilée sous l’utilité de leur usage. Heidegger explique cette fonction essentielle en opposant l’œuvre d’art à l’objet technique, l’outil, qui force l’oubli de la matière au profit de l’usage. Au-delà d’une matière, une œuvre d’art installe un monde – comme réseau de relations qui font sens pour l’homme – et fait venir la terre – l’être comme réserve. Mais une série télévisée contribue-t-elle à l’art dans ses plus hautes destinations ou n’est-elle qu’un produit de divertissement-consommation de l’industrie cinématographique ? Il ne faut évidemment pas sous-estimer les contraintes économiques et les conditions des techniques commerciales. Par exemple, Lynch a été contraint de révéler dans la série le nom du coupable (humain) beaucoup plus tôt qu’il ne l’aurait souhaité, par une production anxieuse que l’enquête de Cooper ne s’éternise et fasse chuter l’audience. On ne peut taire que Twin Peaks ait joué un rôle de divertissement et ait rempli une fonction bassement utilitaire de rendement financier. Mais d’un autre côté, on ne peut nier la dimension spirituelle et métaphysique, que présente la série, bien que très subjectivée et partielle, sous la forme par exemple du problème du Bien et du Mal. Ce problème est posé de différentes manières dans la série. Il y a par exemple la question de la moralité des jeunes filles, qui débouche en particulier sur celle de la rédemption de Laura. Mais il y a aussi le problème de la qualification axiologique des personnages imaginaires comme Bob. D’un côté ils font le mal, mais d’un autre ils révèlent une vérité : celle de leur existence, c’est-à-dire celle de la véritable nature du monde. Une des thèses de Lynch étant que le Mal est toujours présent sous les apparences du Bien de la réalité, et qu’au fond il la domine.

Le résultat négatif de Galois en revanche nous semble contredire les jugements de Heidegger et Hegel à propos de la science et plus précisément des mathématiques, tout en épousant par ailleurs leur perspective philosophique générale à l’égard de la vérité, au point que nous voudrions contribuer à une réappropriation positive de ces deux philosophes dans le cadre d’une philosophie des mathématiques. D’autres auteurs sont déjà allés dans ce sens, quitte à relativiser ou contredire les jugements des maîtres allemands. Ainsi Salanskis propose d’adapter l’option herméneutique heideggerienne aux mathématiques. Du côté de Hegel, Mélès¹⁹ propose d’aller au-delà de la sentence de la préface de la Phénoménologie de l’Esprit²⁰ qui déclare que si la Philosophie connaît une dialectique de l’être, une dialectique de l’essence et finalement une dialectique du concept, « le terrain de la mathématique est au contraire la quantité qui appartient uniquement à la logique de l’être. Elle ne connaît donc qu’une réflexion extérieure. » La réflexivité du résultat de Galois, est bien intérieure aux mathématiques elles-mêmes en tant qu’il produit un discours mathématiques qui dit quelque chose de l’activité des mathématiques. Ce résultat, qui prononce en un point précis, l’impossibilité de capturer et cerner complètement la vérité mathématique au moyen de méthodes systématiques et positives – que nous pouvons qualifier de finitistes et conformes à la technique –, milite selon nous pour l’infinitarité de la pensée mathématique. Ainsi, le recours hégélien à la religion et l’appel heideggerien à l’art seraient possibles, mais non nécessaires, pour accéder, exprimer ou faire advenir la vérité – du Concept ou de l’Être. Il est commun de dire que tout mathématicien est dans sa pratique, platonicien, au sens où il croit fermement en l’existence de ses objets ou du moins agit toujours comme s’ils existaient dans une certaine réalité – sans qu’il lui soit nécessaire de déployer un discours philosophique à ce sujet. Mais en plus de cette attitude qui n’est pas sans rapport avec la croyance religieuse, on insistera ici plutôt sur la dimension de l’œuvre et ses liens avec l’art heideggerien.

Il est fréquent de parler des œuvres des grands mathématiciens, ce qui les qualifient comme choses (certes non matérielles, plutôt textuelles, symboliques ou abstraites), et les distinguent des produits (dont l’être est enfermé dans l’usage) si l’on reprend les distinctions heideggeriennes. La définition classique de l’œuvre d’art, que reprend d’abord Heidegger, comme une chose, qui est aussi plus qu’une chose, à savoir un sens, une allégorie…, pourrait facilement s’adapter à une œuvre mathématique. L’explicitation-interprétation de ce sens d’une œuvre mathématique est justement l’enjeu de l’herméneutique formelle. Ensuite concernant le rapport heideggerien à la vérité, il est vrai que le formalisme mathématique évoque la capture par le concept, qui prépare potentiellement à l’arraisonnement de la technique. Mais c’est sans doute une idée qui révèle la prégnance sur notre époque, de la lecture heideggerienne de la science²¹. Pour en sortir – tout en préservant ici son vocabulaire –, on peut au contraire voire en quoi la théorie de Galois, tout comme la paire de chaussures peinte par Van Gogh²², « installe un monde et fait venir une terre ». La terre pour les mathématiques, c’est le matériau qui permet de dire quelque chose, le langage et les objets de l’algèbre, qui comprend essentiellement au départ, les nombres (réels, complexes,…) et les polynômes, agencés et identifiés dans des « structures » mathématiques : groupes, anneaux, corps…²³ Le langage, en tant que matière syntaxique est terre, mais en tant qu’entité sémantique²⁴, il participe directement à l’installation d’un monde, ce réseau de relations qui font sens entre des choses et pour des hommes, des êtres-au-monde. Or du fait du sens qui est en jeu, et qui est toujours en devenir – une interprétation en appelant une autre – un monde renferme toujours plus que ce qu’il est. Cette réserve qu’est la terre, prête à livrer de nouveaux étants, liés dans de nouvelles relations, est essentiellement le langage, ensemble des signifiants, qui n’est pas strictement solidaire des signifiés. Il en résulte que les mondes installés dans différentes œuvres, et même entre les arts et les mathématiques, communiquent, ou du moins peuvent être mis dans une relation de communication, par un travail philosophique²⁵, comme on a tenté de le montrer ici à propos de la correspondance entre l’équation de Galois et l’enquête de Twin Peaks. Par ailleurs, comme ces deux œuvres en témoignent, la présentation d’un monde, à partir d’une question ou d’un problème à résoudre, qui rencontre certaines difficultés ou impasses, peut parfois conduire à dévoiler la présence d’autres mondes : celui des groupes de symétries pour Galois et celui de la Black Lodge chez Lynch. Cette communicabilité entre les mondes, qui est aussi une ouverture sur d’autres mondes, est selon nous l’indice qu’une œuvre mathématique peut très bien, à condition de la lire en ce sens, laisser être l’être et inviter à l’accueillir aussi sur un mode contemplatif et méditatif.

Si le théorème comme la série disposent en effet, en suivant Heidegger, un combat entre l’éclaircie – par le sens du monde – et la réserve – dans la terre –²⁶, on distinguera malgré tout, les perspectives artistiques et mathématiques par les deux buts distincts qu’elles poursuivent dans ces deux exemples : Galois vise à éclaircir l’énigme alors que Lynch insiste du côté de son obscurité et de la réserve des différentes interprétations que la série permet²⁷. Malgré ce choix, le combat reste en définitive irrésolu dans les deux cas – sinon il ne serait plus œuvre –, laissant l’énigme encore pleine de potentialité. C’est pourquoi on n’en finit pas d’inventer de nouvelles théories de Galois et qu’on espère toujours une troisième saison de Twin Peaks. Au-delà – ou en deçà – de la question positive (qui est x ?), l’installation du monde et la venue de la terre font exploser cette unité dans un réseau d’autres questions annexes, connexes ou fondatrices (quelle est la structure algébrique des permutations des racines ? où vit Bob ?…), explicitement formulées ou pas dans l’œuvre, et qui révèle une véritable énigme. À la différence de la simple question, l’énigme renferme en son sein l’hypothèse d’un sens caché et non évident. Par ailleurs, elle engage souvent l’homme à qui elle s’adresse, dans un face-à-face avec les conditions métaphysiques de son existence²⁸. Insister sur son obscurité invite à en faire un mystère – qui suppose son irrésolution rationnelle. Viser sa clarification conduit à en faire un problème – qui présuppose l’ambition de le résoudre. C’est pourquoi, dans la voie de la science, nous proposions l’énoncé : derrière toute équation réside une énigme qu’il s’agit de problématiser²⁹.

Pour résumer notre présent propos, on dira que l’hypothèse d’une analogie entre la résolution des équations algébriques et l’enquête sur le meurtre de Laura Palmer a été renforcée comme correspondance entre les œuvres – communication des mondes, résonance des terres – artistiques et mathématiques. Elle a alors contribué à la valorisation d’une pensée (vraie) infinitaire, c’est-à-dire non systématique et non finitiste. Alors que Lynch joue du mystère comme source de son art, nous avons proposé pour le versant épistémologique une maxime, qui peut finalement s’entendre de deux façons. Adressée au mathématicien, elle exprime une norme – dont il n’a en pratique pas besoin. Adressée au philosophe, elle peut inviter à penser l’existence des théories mathématiques, comme des tentatives de répondre à des énigmes, voire à des problèmes philosophiques. La perspective de Salanskis est celle de l’énigme, qui requiert une herméneutique. Mais il y a une autre voie, avec laquelle il a voulu justement s’expliquer, celle du problème, proposée auparavant par Lautman et qui nécessite une dialectique³⁰.

À suivre.

Références

1. Emmanuel Barot, La dualité de Lautman contre la négativité de Hegel, et le paradoxe de leurs formalisations. Contribution à une enquête sur les formalisations de la dialectique, Philosophiques, Volume 37, numéro 1, printemps 2010, p. 111-148.

2. Évelyne Buissière, Cours sur l’art, Ed. du site « Philosophie », 2003-2004, http://www.ac-grenoble.fr/PhiloSophie/file/cours_art_buissiere.pdf

3. Michel Chion, David Lynch, Paris, Ed. Les cahiers du cinéma, 2001.

4. Georg Wilhelm Friedrich Hegel, Phénoménologie de l’Esprit [1807], traduction de J. Hyppolyte, Paris, Aubier, 1941.

5. Georg Wilhelm Friedrich Hegel,L’Encyclopédie des Science philosophiques en abrégé [1830], traduction de M. de Gandillac, Gallimard, Paris (1990).

6. Martin Heidegger, Nietzsche [1936-46], traduction de P. Klossowski, Paris, Gallimard, 1971.

7. Martin Heidegger,Chemins qui ne mènent nulle part,  traduction de W. Brokmeier, Paris, Gallimard, coll. « Tel »,‎ 1950.

8. Albert Lautman : Essai sur les notions de structure et d’existence en mathématiques [1938], dansLes mathématiques, les idées et le réel physique, Paris, Vrin, 2006, p. 125-234.

9. Baptiste Mélès, Pratique mathématique et lectures de Hegel, de Jean Cavaillès à William Lawvere, Philosophia Scientiæ, 16/1, 2012, p. 153-182.

10. Baptiste Mélès, Cavaillès et les « moments de la conscience », non publié, 2012.

11. Bruno Poizat, Une Théorie de Galois Imaginaire, The Journal of Symbolic Logic, Vol. 48, No. 4 (Déc., 1983), pp. 1151-1170.

12. Jean-Michel Salanskis, L’herméneutique formelle, L’Infini, le Contenu, l’Espace [1991], Paris, Réédition Klincksieck, 2013.

13. Jean-Michel Salanskis, Philosophie des mathématiques, Paris, Vrin, 2008.

14. Gérard Wacjeman, Les Experts. La police des morts, Paris, PUF, 2012.