Proto-philo – Marco Panza

À l’occasion de la 3^e rencontre Proto-philo 2015-2016 organisée par la bibliothèque universitaire Cuzin de l’UFR de philosophie Paris I Panthéon-Sorbonne, Marco Panza intervenait pour présenter son dernier ouvrage, Introduction à la philosophie des mathématiques[1]. Cet ouvrage constitue une véritable référence sur le sujet et permet aux lecteurs, spécialistes ou non, d’avoir une vue synthétique mais précise des enjeux qui entourent la philosophie des mathématiques et de leur évolution dans l’histoire de la philosophie.

La philosophie des mathématiques

Qu’est-ce que la philosophie des mathématiques ? Quel peut être son objet ? Pour répondre à cette question, Marco Panza est parti de Platon : si d’une part, pour lui, « on étudie la géométrie en vue de la connaissance de ce qui est toujours », (République, 527b), de l’autre on le fait par des moyens humains, en utilisant des noms, des définitions, des diagrammes, des théorèmes (VIIe Lettre, 342a-d), c’est-à-dire un langage aussi inévitable (ἀναγκαίως) que métaphorique (γελοίως), corrompu, qui est à l’opposé de la nature même d’une telle connaissance (République, 527a). Il semblerait, donc, que Platon oppose les mathématiques en tant que connaissance des idées, cette connaissance inatteignable pour nous les hommes [et même indéfinissable qu’il évoque dans le Théétète], aux mathématiques en tant que pratique humaine, une autre sorte de connaissance faite d’ « opinions vraies » connectées entre elles par un discours (Ménon 97e-98a). Dans une telle perspective, face à l’opposition entre vérités éternelles et moyens intellectuels finis, se pose le problème du lien qui peut s’établir entre eux. Ce problème qui  occupe la philosophie des mathématiques de Platon à  nos jours pourrait se résumer ainsi : comment une pratique humaine nécessairement imparfaite et historiquement déterminée peut-elle donner lieu à une construction intellectuelle aussi précisément organisée et stable ? Comment cette construction peut-elle  nous apparaître comme un système de vérités éternelles à propos d’objets qui existent indépendamment des hommes et de leur histoire ?

L’aspect métaphysique des objets mathématiques

D’un point de vue métaphysique [pour ainsi dire], le débat porte sur la question suivante : quel statut [pourvu qu’il y en ait un] faut-il accorder aux objets mathématiques ? Il y a deux principales façons de répondre à la question : soit on soutient que les mathématiciens les découvrent et dans ce cas, on rejoint la thèse paradoxale du  réalisme platonicien d’un ciel des idées, avec le problème épistémologique de l’accès à ces objets, soit on soutient qu’ils les inventent et dans ce cas, on rejoint des positions variées, dont la nature dépend de la modalité qu’on assigne à cette invention. Dans tous les cas, on se confronte au problème d’expliquer la stabilité des mathématiques et leur résistance face aux opinions subjectives. On peut aussi soutenir qu’il n’y a pas d’objets mathématiques [ou des objets abstraits, en général, car les objets mathématiques peuvent difficilement être concrets], et on rejoint alors la position nominaliste et/ou fictionnaliste, avec le problème de rendre compte de la forme apparente des assertions mathématiques [qui semblent justement porter sur des objets et les quantifier].

De la logique à la pratique

Mais faire de la philosophie des mathématiques, ce n’est pas seulement aborder ce problème métaphysique, c’est aussi analyser ce que font les mathématiciens, les différentes façons qu’ils ont de démontrer leurs théorèmes, les différentes manières de justifier, voir de fonder leurs théories. Ils peuvent par exemple employer des preuves « pures » en ne se servant que des notions qui interviennent dans la compréhension même du théorème à démonter, ou des preuves « impures » qui mobilisent des notions autres, qui ne semblent pas, du moins en restant à l’énoncé de ses théorèmes, relever de ce dont ces dernières parlent. Les premières preuves ont un avantage de simplicité et d’élégance, et aussi d’économie intellectuelle, les secondes permettent souvent d’unifier des théorèmes, voir des théories différentes. On peut aussi étudier comment des représentations empiriquement manipulables, par exemple des diagrammes ou des notations appropriées, interviennent dans des preuves, en permettant souvent de visualiser le contenu des théorèmes ou de mieux saisir la logique qui unit des théorèmes différents. Ce lien entre vision et compréhension n’est par ailleurs pas sans rappeler la forme d’intellection décrite par Platon dans la VII^e Lettre[2].

Le mystère des mathématiques

Ces différents aspects de la philosophie des mathématiques sont évidemment liés et rejoignent toujours le problème fondamental de l’objectivité et/ou stabilité des mathématiques. Parmi les positions présentées, Marco Panza nous livre la sienne : la question n’est pas celle de l’existence des objets mathématiques, personne ou presque n’admettrait en effet sérieusement un ciel des idées indépendant des hommes. Le problème se resserre donc autour de la question de l’accès, plus ou moins direct, aux objets mathématiques. Tous limités qu’ils soient les hommes produisent des contenus stables, ils ne les découvrent pas, mais ils ne les inventent pas n’importe comment et ne formulent pas n’importe quoi : ils semblent, en particulier, capables de fixer des contenus individuels auxquels on peut avoir un accès épistémique de re, et non seulement de dicto. Ces sont ces contenus qu’on qualifie d’habitude d’objets mathématiques. Le problème métaphysique devient alors celui des modalités de cette fixation, et en vient à se confondre de ce fait avec le problème posé par la pratique mathématique : ce n’est qu’en analysant celle-ci, plutôt qu’en s’interrogeant sur l’existence ou la non existence des objets abstraits, qu’on pourra, peut-être, parvenir à le résoudre.